Question

（文）某企業(yè)自2009年1月1日正式投產(chǎn)，環(huán)保監(jiān)測部門從該企業(yè)投產(chǎn)之日起對它向某湖區(qū)排放污水進行了四個月的跟蹤監(jiān)測，檢測的數(shù)據(jù)如下表．并預(yù)測，如果不加以治理，該企業(yè)每月向湖區(qū)排放污水的量將成等比數(shù)列．

月份	1月	2月	3月	4月
該企業(yè)向湖區(qū)排放的污水（單位：立方米）	1萬	2萬	4萬	8萬

（1）如果不加以治理，求從2009年1月起，m個月后，該企業(yè)總計向某湖區(qū)排放了多少立方米的污水？
（2）為保護環(huán)境，當?shù)卣�府和企業(yè)決定從7月份開始投資安裝污水處理設(shè)備，預(yù)計7月份的污水排放量比6月份減少4萬立方米，以后每月的污水排放量均比上月減少4萬立方米，當企業(yè)停止排放污水后，再以每月16萬立方米的速度處理湖區(qū)中的污水，請問什么時候可以使湖區(qū)中的污水不多于50萬立方米？

Answer 1

分析：（1）企業(yè)每月向湖區(qū)排放的污水量成等比數(shù)列{a_n}，且a₁=1，q=2，則通項a_m前m項和s_m可求；
（2）由（1）知a₆=32，則a₇=28，從7月份開始，企業(yè)每月向湖區(qū)排放的污水量成等差數(shù)列{b_n}，b₁=28d=-4，則b_n可求，令b_n=0，知企業(yè)停止污水排放，再求出企業(yè)總共排出的污水量，從而得湖區(qū)污水不多于50萬立方米．

解答：解：（1）由題意知企業(yè)每月向湖區(qū)排放的污水量成等比數(shù)列，
設(shè)第一個月污水排放量為a₁，則a₁=1，公比為2，
則第m個月的污水排放量為a_m=2^m-1．
如果不治理，m個月后的污水總量為：Sm=1+2+22++2m-1=

1-2m

1-2

=2m-1（萬立方米）．
（2）由（1）知a₆=32，則a₇=28
由題意知，從7月份開始，企業(yè)每月向湖區(qū)排放的污水量成等差數(shù)列，公差為-4，
記7月份企業(yè)向湖區(qū)排放的污水量為b₁，則b_n=28+（n-1）×（-4）=32-4n．
令b_n=32-4n=0，得n=8，
所以，該企業(yè)2010年2月向湖區(qū)停止污水排放，
則該企業(yè)共排污水S6+

8×(28+0)

2

=63+112=175（萬立方米）．
設(shè)x個月后污水不多于50萬立方米，
則175-16x≤50，x≥

125

16

．
因為7＜

125

16

＜8，所以8個月后即2010年10月污水不多于50萬立方米．

點評：本題考查了等差，等比數(shù)列的實際應(yīng)用，解題時要注意等差，等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式的區(qū)別與聯(lián)系．