Question

已知函數，直線象的一條對稱軸．
（1）試求ω的值：
（2）若函數y=g（x）的圖象是由y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移個單位長度得到，求函數g（x）在[0，]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將函數f（x）利用二倍角余弦公式和輔助角公式化簡，得f（x）=2sin（2ωx+），根據正弦函數對稱軸方程的結論得是方程2ωx+=kπ+（k∈Z）的一個解，建立關于ω的方程，結合0＜ω＜1可得ω的值；
（2）根據三角函數圖象變換的公式，得到g（x）=f（），化簡得g（x）=2cos，結合余弦函數的圖象，不難得到g（x）在[0，]上的最大值．
解答：解：=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），
（1）∵直線是f（x）圖象的一條對稱軸
∴是方程2ωx+=kπ+（k∈Z）的一個解，
即2ω•+=kπ+，得ω=（3k+1）
∵0＜ω＜1，取k=0，得ω=；
（2）y=f（x）圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到y=f（）的圖象
再將所得圖象向左平移個單位長度，得到y=f（）的圖象，
∴g（x）=f（）=2sin[2••+]=2sin（+）=2cos，
∵0≤x≤，∴0≤≤，可得≤cos≤1
由此可得g（x）∈[，2]，在[0，]上的最大值為2．
點評：本題給出含有字母參數的三角函數表達式，在已知一條對稱軸的情況下求參數的值，并求函數圖象變換后所得函數的最大值，著重考查了正弦函數的對稱性、三角函數中的恒等變換應用和函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識，屬于中檔題．