Question

已知函數，，．

（1）若函數在區間上不是單調函數，試求的取值范圍；

（2）直接寫出（不需要給出演算步驟）函數的單調遞增區間；

（3）如果存在，使函數，在處取得最小值，試求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）．  （2）時，增區間為；當時，增區間為．（3）的最大值為，此時唯有符合題意．

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。根據函數在給定區間的單調性，求解參數的取值范圍，以及能利用導數的符號與單調性的關系，求解函數的單調區間，并能求解給定函數在區間的最值問題的綜合運用。

（1）首先要是函數在給定區間單調遞增，則說明導函數恒大于等于零。分離參數求解參數的取值范圍。如果不單調，則說明導函數在給定區間內有不重復的零點即可。

（2）利用給定的函數分析a的范圍，分別討論得到單調區間。

（3）要研究不等式在給定區間恒成立問題，可以構造函數研究函數的最值即可來得到。

（1）法一：由題意知，在區間內有不重復的零點．

故只需滿足：，即∴  

法二：由題意知，在區間內有不重復的零點．

由 ，得 ，∵ ， ∴ ．

令，則，故在區間上是增函數，其值域為，從而的取值范圍為．   ………… 4分

（2）當時，不存在增區間；當時，增區間為；

當時，增區間為；當時，增區間為．   8分

（3），據題意知，在區間上恒成立，即         ①

當時，不等式①恒成立；

當時，不等式①可化為      ②

令，由于二次函數的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區間上的最小值必在區間端點處取得，又，

∴ 不等式②恒成立的充要條件是， …………  10分

即，亦即 ，

∵ 這個關于的不等式在區間上有解

∴ ，即 ，，

解得 ，又，

故，從而的最大值為，此時唯有符合題意