Question

在平面角為60°的二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，P到α、β的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱l的距離為

2 57

3

．

Answer 1

分析：設(shè)過(guò)P，C，D的平面與l交于Q點(diǎn)，可以證出l⊥面PCQD于Q，∠DQC是二面角α-l-β的平面角，PQ是P到l的距離．且PQ是△PDC的外接圓的直徑，在△PCD中利用余弦定理求出CD，最后根據(jù)正弦定理可求出PQ，從而求出點(diǎn)P到直線l的距離．

解答：解：設(shè)過(guò)P，C，D的平面與l交于Q點(diǎn)． 　　
由于PC⊥平面α，l?平面M，則PC⊥l，
同理，有PD⊥l，∵PC∩PD=P，
∴l(xiāng)⊥面PCQD于Q．
又 DQ，CQ，PQ?平面PCQD
∴DQ⊥l，CQ⊥l．
∴∠DQC是二面角α-l-β的平面角．
∴∠DQC=60°
且PQ⊥l，所以PQ是P到l的距離．
在平面圖形PCQD中，有∠PDQ=∠PCQ=90°
∴P、A、Q、B四點(diǎn)共圓，也為△PDC的外接圓，且PQ是此圓的直徑．
在△PCD中，∵PC=2cm，PD=3cm，∠CPD=180°-60°=120°，
由余弦定理得 CD²=PC2+PD2-2PC•PDcos120°
=9+4-2×3×2×（-

1

2

）=19，CD=

19

在△PDC 中，根據(jù)正弦定理

CD

sin∠CPD

=2R=PQ，代入數(shù)據(jù)得出PQ=

19

3 2

=

2 57

3

∴點(diǎn)P到直線l的距離為

2 57

3

故答案為：

2 57

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二面角的定義、大小度量，解三角形的知識(shí)．分析得出PQ是P到l的距離，且利用正弦定理求出是關(guān)鍵．