Question

設f（x）是定義在正整數集上的函數，且f（x）滿足：“當f（k）＞k²成立時，總可推出f（k+1）＞（k+1）²成立”． 那么，下列命題總成立的是（　　）

A．若f（1）≤1成立，則f（9）≤81成立

B．若f（2）≤4成立，則f（1）＞1成立

C．若f（3）＞9成立，則當k≥1時，均有f（k）＞k²成立

D．若f（3）＞9成立，則當k≥3時，均有f（k）＞k²成立

Answer 1

分析：根據題意，“當f（k）≥k²成立時，總可推出f（k+1）≥（k+1）²成立”是一種遞推關系，說明若前一個數成立，則后一個數一定成立．反之，若后一個數成立，但前一個數不一定成立，由此可以判斷哪一項是正確的了．

解答：解：對于A，因為“原命題成立，否命題不一定成立”，所以f（1）≤1成立不能推出f（2）≤4，更不能推出k=3、4、…的情況，所以不一定有f（9）≤81成立，故A不正確；
對于B，因為“原命題成立，則逆否命題一定成立”，所以只能得出“若f（2）≤4成立，則f（1）≤1成立”，不能得出“f（2）≤4成立，則f（1）＞1成立”，故B不正確；
對于C，若f（3）＞9成立，則根據題意可得“當k≥3時，均有f（k）＞k²成立”，而不能得到k=1、2的情況，故C不正確；
對于D，若f（3）＞9成立，則可推出f（4）＞4²成立，接著可出f（5）＞5²成立，…，依此類推可得：當k≥3時，均有
f（k）＞k²成立，故D正確．
故選D

點評：本題以函數滿足正整數集上的某種遞推關系為載體，著重考查了四種命題及其關系和簡單的合情推理的知識，屬于基礎題．