Question

設n為自然數，a、b為正實數，且滿足a+b=2，則

1

1+an

+

1

1+bn

的最小值為（　　）

A． 1 2

B． 2 2

C．1

D． 2

Answer 1

1

1+an

+

1

1+bn

=

an+bn+2

(1+an)(1+bn)

=1-

(ab)n-1

(1+an)(1+bn)

要使

1

1+an

+

1

1+bn

取得最小值，則

(ab)n-1

(1+an)(1+bn)

取得最大值
∵a、b為正實數，a+b=2，a+b≥2

ab

，∴0＜ab≤1
∵n為自然數，∴（ab）ⁿ-1≤1-1=0
當且僅當（ab）ⁿ=1時，（ab）ⁿ-1取得最大值0
∴a=b=1時，原式有最小值1．
故選C．