Question

如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為l的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點，N為BC的中點．

（I）證明：直線MN∥平面OCD．

（II）求異面直線AB與MD所成角的大小．

（III）求點B到平面OCD的距離．

Answer 1

解：方法一（綜合法）

（Ⅰ）取OB中點E，連接ME，NE；∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD，∴MN∥平面OCD。

（Ⅱ）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）

作AP⊥CD于點P，連接MP。

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP。∵∠ADP=，∴DP=。∵MD=，∴，∠MDC=∠MDP=

所以，AB與MD所成角的大小為

（Ⅲ）∵AB∥平面OCD，∴點B和點A到平面OCD的距離相等。

連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q

∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離。

∵，AP=DP=，∴

所以，點B到平面OCD的距離為

方法二（向量法）：

作AP⊥CD于點P。如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x, y, z軸建立直角坐標系。

A（0，0，0）， B（1，0，0），P（0，，0），D（，O（0，0，2），

M（0，0，1），  N（1-

（Ⅰ）.

設平面OCD的法向量為=（x, y, z），則

即

取z=,解得∵,

∴MN∥平面OCD

（Ⅱ）設AB與MD所成角為,∵

∴,∴.

AB與MD所成角的大小為

（Ⅲ）設點B到平面OCD的距離為d，則d為在向量上的投影的絕對值。由，得

所以，點B到平面OCD的距離為。