Question

【題目】如圖所示，已知+=1（a＞＞0）點A（1，）是離心率為的橢圓C：上的一點，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點，且A、B、D三點不重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△ABD面積的最大值；
（Ⅲ）設直線AB、AD的斜率分別為k1 ， k2 ， 試問：是否存在實數λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ的值；否則說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵e==，∴a=c，
∴b2=c2
∴橢圓方程為+=1
又點A（1，）在橢圓上，
∴=1，
∴c2=2
∴a=2，b=，
∴橢圓方程為=1
（Ⅱ）設直線BD方程為y=x+b，D（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
與橢圓方程聯立，可得4x2+2bx+b2﹣4=0
△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2
x1+x2=﹣b，x1x2=
∴|BD|==，
設d為點A到直線y=x+b的距離，∴d=
∴△ABD面積S=≤=
當且僅當b=±2時，△ABD的面積最大，最大值為
（Ⅲ）當直線BD過橢圓左頂點（﹣，0）時，k1==2﹣，k2==﹣2
此時k1+k2=0，猜想λ=1時成立．
證明如下：k1+k2=+=2+m=2﹣2=0
當λ=1，k1+k2=0，故當且僅當λ=1時滿足條件
【解析】（Ⅰ）利用橢圓的離心率，化簡橢圓方程，代入A，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線BD方程為y=x+b，與橢圓方程聯立，表示出面積，利用基本不等式求△ABD面積的最大值；
（Ⅲ）k1+k2=0，猜想λ=1時成立，再進行證明即可．