Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是AB₁，BC₁上的點，且滿足AM=BN，
有下列4個結論：①MN⊥AA₁；②MN∥AC；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN⊥BB₁D₁D．其中正確的結論的序號是

①③

．

Answer 1

分析：根據題意，分析命題：首先利用點M∈AB₁，N∈BC₁，M，N可以是這兩條直線上的任意的點，取特殊位置，排除②④兩個結論，做出輔助線作MM′⊥A₁B₁于M′，作NN′⊥B₁C₁于N′，即可得到答案．

解答：解：當M為A、N為B時，MN與AC相交．排除②；
當M為B₁，N為C₁時，直線MN與平面BB₁D₁D所成角是45°，所以排除④．
作MM′⊥A₁B₁于M′，作NN′⊥B₁C₁于N′，
易證|MM′|=|NN′|，MM′∥NN′
∴MN∥M′N′，
由此知①③正確．
故答案為：①③

點評：本題通過正方體的結構特征主要考查了空間中直線與平面之間的位置關系，以及平面與平面之間的位置關系，是高考中常見的題型，值得大家高度的重視．