Question

設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求PF₁•PF₂的最大值和最小值；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，求出a，b，c的值，然后設P的坐標，根據PF₁•PF₂的表達式，按照一元二次函數求最值方法求解．
（Ⅱ）設出直線方程，與已知橢圓聯立方程組，運用設而不求韋達定理求出根的關系，求出k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意易知
所以，
設P（x，y），
則=
因為x∈[-2，2]，
故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，
有最小值-2
當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，
有最大值1

（Ⅱ）顯然直線x=0不滿足題設條件，
可設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立，消去y，整理得：
∴
由得：或，
又
∴
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
==
∵，
即k²＜4∴-2＜k＜2
故由①、②得：
或．
點評：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力．本題為中檔題，需要熟練運用設而不求韋達定理．