Question

（2007•奉賢區一模）已知函數 f（x）=log₃（3^x-1），
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求證函數f（x）在（0，+∞）內單調遞增．
（3）若f^-1（x）是函數f（x）的反函數，設F（x）=f^-1（2x）-f（x），求函數F（x）的最小值及對應的x值．

Answer 1

分析：（1）利用真數大于0，結合指數函數的單調性可求；
（2）用單調性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位．
（3）先求反函數，再表達出F（x）=f^-1（2x）-f（x），利用基本不等式可求函數的最小值．

解答：解：（1）函數 f（x）=log₃（3^x-1），得：3^x-1＞0，∴x＞0
∴f（x）的定義域 是（0，+∞）．
（2）設在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=log3

3x2-1

3x1-1

由y=3^x在定義域（0，+∞）內單調遞增得：

3x2-1

3x1-1

＞ 1，∴log3

3x2-1

3x1-1

＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴函數f（x）在（0，+∞）內單調遞增（3分）
（3）由 f（x）=log₃（3^x-1），得：f^-1（x）=log₃（3^x+1），∴F（x）=f^-1（2x）-f（x）=log3

32x+1

3x-1

log3(3x-1+

2

3x-1

+2)≥log3(2

2

 +2)
當x=log3(

2

+1)時，F（x）最小值為log3(2

2

+2)

點評：本題的考點是函數的單調性德判斷及證明，主要考查了反函數、函數的值域以及函數與不等式相綜合的問題，考查函數與方程的綜合運用，主要涉及了用單調性的定義證明函數的單調性以及構造函數研究函數的性質等問題，還考查了轉化思想和構造轉化函數的能力．