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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f'（x）是f（x）的導數，記f^（1）（x）=f'（x），f^（n）（x）=（f^（n-1）（x））'（n∈N，n≥2），給出下列四個結論：
①若f（x）=xⁿ，則f^（5）（1）=120；
②若f（x）=cosx，則f^（4）（x）=f（x）；
③若f（x）=e^x，則f^（n）（x）=f（x）（n∈N⁺）；
④設f（x）、g（x）、f^（n）（x）和g^（n）（x）（n∈N⁺）都是相同定義域上的可導函數，h（x）=f（x）•g（x），則h^（n）（x）=f^（n）（x）•g^（n）（x）（n∈N⁺）．
則結論正確的是

①②③

（多填、少填、錯填均得零分）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(n)=cos

nπ

3

(n∈z+)則f（1）+f（2）+…+f（6）-[f（7）+f（8）+…+f（12）]等于（　　）

A．0

B．

1

2

C．-

1

2

D．1

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知f'（x）是f（x）的導數，記f^（1）（x）=f'（x），f^（n）（x）=（f^（n-1）（x））'（n∈N，n≥2），給出下列四個結論：
①若f（x）=xⁿ，則f^（5）（1）=120；
②若f（x）=cosx，則f^（4）（x）=f（x）；
③若f（x）=e^x，則f^（n）（x）=f（x）（n∈N⁺）；
④設f（x）、g（x）、f^（n）（x）和g^（n）（x）（n∈N⁺）都是相同定義域上的可導函數，h（x）=f（x）•g（x），則h^（n）（x）=f^（n）（x）•g^（n）（x）（n∈N⁺）．
則結論正確的是______（多填、少填、錯填均得零分）．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年四川省達州市高二（下）期末數學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

已知f'（x）是f（x）的導數，記f^（1）（x）=f'（x），f^（n）（x）=（f^（n-1）（x））'（n∈N，n≥2），給出下列四個結論：
①若f（x）=xⁿ，則f^（5）（1）=120；
②若f（x）=cosx，則f^（4）（x）=f（x）；
③若f（x）=e^x，則f^（n）（x）=f（x）（n∈N⁺）；
④設f（x）、g（x）、f^（n）（x）和g^（n）（x）（n∈N⁺）都是相同定義域上的可導函數，h（x）=f（x）•g（x），則h^（n）（x）=f^（n）（x）•g^（n）（x）（n∈N⁺）．
則結論正確的是（多填、少填、錯填均得零分）．

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科目：高中數學 來源：2013屆安徽省高二下學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知f(n)=(2n+7)3ⁿ+9,存在自然數m,使得對任意正整數n,都能使m整除f(n)，猜測出最大的m的值。并用數學歸納法證明你的猜測是正確的。

【解析】本試題主要考查了歸納猜想的運用，以及數學歸納法的證明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

然后證明n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k^－2?(k≥2) 證明得到。解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

證明 n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，則n=k+1時，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k^－2?(k≥2) f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數整除，∴所求最大的m值等于36

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