Question

設函數f（x）=|x-a|+|x-1|．
（1）當a=2時，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在實數x使得f（x）≤3成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）當a=2，原不等式變為：|x-1|+|x-2|≤3，下面利用對值幾何意義求解，利用數軸上表示實數

3

2

左側的點與表示實數

1

2

右側的點與表示實數1與2的點距離之和小于等于3得到不等式解集；
（2）直接利用絕對值的幾何意義求得滿足存在實數x使得f（x）≤3成立的實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=|x-1|+|x-2|，由f（x）≤3，得|x-1|+|x-2|≤3，
據絕對值幾何意義求解，|x-1|+|x-2|≤3幾何意義，是數軸上表示實數x的點距離實數1，2表示的點距離之和小于等于3，
由于數軸上表示實數

3

2

左側的點與表示實數

1

2

右側的點與表示實數1與2的點距離之和小于等于3．
∴所求不等式解集為：[

1

2

，

3

2

]；
（2）由絕對值的幾何意義知，數軸上若存在實數x表示的點到1的距離與到a的距離之和小于等于3，則1與a之間的距離必小于等于2，
即-2≤a≤4．
從而有a∈[-2，4]．

點評：本小題主要考查絕對值不等式、不等式的解法、充要條件等基礎知識，考查了絕對值的幾何意義，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、分類討論思想，是中檔題．