Question

某公司生產一種產品，每年需要投入固定成本0.5萬元，此外每生產100件這種產品還需要增加投資0.25萬元，經過市場預測得知，市場對這種產品的年需求量為500件，且當售出的這種產品的數量為t（單位：百件）時，銷售所得的收入約為5t-

t2

2

（萬元）．
（Ⅰ）若該公司這種產品的年產量為x（單位：百件，x＞0），試把該公司生產并銷售這種產品所得的利潤表示為當年產量x的函數；
（Ⅱ）當該公司的年產量多大時，當年所得的利潤最大？

Answer 1

分析：（1）分類討論：①當0≤x≤5時，②當x＞5時，分別寫出函數f（x）的表達式，最后利用分段函數的形式寫出所求函數解析式即可；
（2）分別求出當0≤x≤5時，及當x＞5時，f（x）的最大值，最后綜上所述，當x為多少時，f（x）有最大值，即當年產量為多少件時，公司可獲得最大年利潤．

解答：解：（1）當0＜x≤5時，f（x）=R（x）-0.5-0.25x=-

1

2

x²+4.75x-0.5；
當x＞5時，f（x）=R（5）-0.5-0.25x=12-0.25x，
故所求函數解析式為f(x)=

- 1 2 x2+4.75x-0.5     (0＜x≤5) 12-0.25x                   (x＞5)

（2）0＜x≤5時，f（x）=-（

1

2

x-4.75）²+10.78125，∴在x=4.75時，f（x）有最大值10.78125，當x＞5時，
f（x）=12-0.25x＜12-0.25×5=10.75＜10.78125，
綜上所述，當x=4.75時，f（x）有最大值，即當年產量為475件時，公司可獲得最大年利潤．

點評：本題考查了分段函數，以及函數與方程的思想，屬于基礎題．函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值．