Question

在△ABC 中，已知角A、B、C 所對的三條邊分別是a、b、c，且b²=a•c
（Ⅰ）求證：0＜B≤

π

3

；
（Ⅱ）求函數y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用余弦定理求出cosB的值的范圍，即可證明0＜B≤

π

3

；
（Ⅱ）直接利用二倍角與平方關系，兩角和的正弦函數化簡函數y=

1+sin2B

sinB+cosB

為y=

2

sin(B+

π

4

)，結合B的范圍，求出表達式的值域．

解答：解：（Ⅰ）因為cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，0＜B≤π，所以0＜B≤

π

3

（Ⅱ）y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin(B+

π

4

)，
因為0＜B≤

π

3

所以

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，所以

2

2

＜sin(B+

π

4

)≤1，所以y的值域為(1，

2

]

點評：本題考查余弦定理與三角函數的二倍角公式與兩角和與應用，考查函數值域的求法，考查計算能力．