Question

設橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉時，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2）的最小值與最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出直線l的方程，A，B的坐標，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理表示出x₁+x₂，利用直線方程表示出y₁+y₂，然后利用求得的坐標，設出P的坐標，然后聯立方程消去參數k求得x和y的關系式，P點軌跡可得．
（2）根據點P的軌跡方程求得x的范圍，利用兩點間的距離公式求得||，利用二次函數的性質和x的范圍求得其最大和最小值．
解答：解：（1）直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1．
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題設可得點A、B的坐標是方程組
的解．
將①代入②并化簡得，（4+k²）x²+2kx-3=0，所以，
于是．
設點P的坐標為（x，y），則消去參數k得4x²+y²-y=0③
當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方
程為4x²+y²-y=0．
（2）解：由點P的軌跡方程知，即．所以
故當，取得最小值，最小值為；當時，取得最大值，
最大值為．
點評：本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質等基礎知識，以及軌跡的求法與應用、曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．