Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=，E，F分別是AD，PC的中點．建立適當的空間坐標系，利用空間向量解答以下問題：
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，證明，即可證得PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）確定平面BEF的法向量，平面BAP的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BEF與平面BAP夾角的大小．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
∵，四邊形ABCD是矩形．
∴A，B，C，D，P的坐標為A（0，0，0），B（2，0，0），，
又E，F分別是AD，PC的中點，∴，
∴，
∴，（6分）
∴，
又∵BF∩EF=F，∴PC⊥平面BEF（9分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面BEF的法向量，
平面BAP的法向量，∴=8   （12分）
設平面BEF與平面BAP的夾角為θ，
則，
∴θ=45°，∴平面BEF與平面BAP的夾角為45°（15分）
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，用坐標表示向量是關鍵．