Question

（12分）已知函數對于任意的滿足.

（1）求的值；

（2）求證：為偶函數；

（3）若在上是增函數，解不等式

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）證明：見解析；

（3）x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]。

【解析】(1)根據x,y取值的任意性，可令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.

再令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0.

(2) 令，得, ∵ ,∴

至此確定為偶函數；

(3) 由（2） 函數是定義在非零實數集上的偶函數．

∴不等式可化為,

從而進一步轉化為，解此不等式組即可.

（1）解：∵對于任意的滿足

            ∴令，得到：

              令，得到：

   （2）證明：有題可知，令，得

              ∵      ∴

            ∴為偶函數；

（3）由（2） 函數是定義在非零實數集上的偶函數．

∴不等式可化為

     ∴.即：且

在坐標系內，如圖函數圖象與兩直線．

 

 由圖可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]

 故不等式的解集為：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]