Question

下列命題：
①若f（x）存在導函數，則f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函數h（x）=cos⁴x-sin⁴x，則h′(

π

12

)=0；
③若函數g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），則g′（2013）=2012!；
④函數f(x)=

sinx

2+cosx

的單調遞增區間是(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)(k∈z)
其中真命題為______．（填序號）

Answer 1

①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x），所以①錯誤．
②因為h（x）=cos⁴x-sin⁴x=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）=cos2x，
所以h'（x）=-2sin2x，即h′(

π

12

)=-2sin(2×

π

12

)=-2sin

π

6

=-2×

1

2

=-1，所以②錯誤．
③因為g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-2012）（x-2013），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2012）]+（x-2013）?[（x-1）（x-2）…（x-2012）]'
所以g'（2013）=…=1×2×…×2012=2012!，所以③正確．
④函數的導數為f′(x)=

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

1+2cosx

(2+cosx)2

，
由f′(x)=

1+2cosx

(2+cosx)2

＞0得1+2cosx＞0，即cosx＞-

1

2

，所以2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

，k∈Z，
即函數的單調遞增區間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z，所以④正確．
故答案為：③④．