Question

已知實數x，y滿足x²+y²+4x+3=0，則x-2y的最小值為（　　）

• A、-2-

  5

• B、-2+

  5

• C、-2

  5

• D、2

  5

Answer 1

分析：把圓的方程先化為標準方程，然后再化為參數方程，把圓參數方程中x與y代入所求的式子中，后兩項提取

12+(-2)2

，即

5

，設sinβ=

5

5

，cosβ=

2 5

5

，利用兩角差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可求出x-2y的最小值．

解答：解：把圓的方程化為標準方程得：（x+2）²+y²=1，
設圓的參數方程為：

x=-2+cosα y=sinα

，
則x-2y=（-2+cosα）-2sinα=-2+cosα-2sinα
=-2+

5

（

5

5

cosα-

2 5

5

sinα）
=-2+

5

sin（β-α）（其中sinβ=

5

5

，cosβ=

2 5

5

），
由sin（β-α）∈[-1，1]，得到sin（β-α）的最小值為-1，
則x-2y的最小值為-2-

5

．
故選A

點評：此題考查了圓的參數方程，三角形函數的恒等變形以及正弦函數的值域，考查了轉化的數學思想．本題的思路為：由已知圓的方程轉化為圓的參數方程，把表示出的x與y代入所求式子中，利用三角函數的恒等變換化為一個角的正弦函數，然后利用正弦函數的值域即可求出所求式子的最小值．