Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）在一個周期內的圖象如下圖所示．
（1）求函數的解析式；
（2）求函數的單調遞增區間；
（3）設0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所給的圖象得到三角函數的振幅與半個周期，根據函數的圖象過點的坐標，代入解析式求出初相，得到函數的解析式．
（2）根據正弦曲線的單調區間，把三角函數的角的值代入求出x的范圍，就是要求的三角函數的單調區間．
（3）根據方程有兩個不同的根，即直線y=m與三角函數的圖象有兩個不同的交點，根據圖象可以得到-2＜m＜1或1＜m＜2．

解答：解：（1）根據圖象可以看出A=2，

T

2

=

11π

12

-

5π

12

=

π

2

∴T=π，ω=2，
∵函數的圖象過點（

2π

12

，2）
代入三角函數的解析式得到φ=

π

6

∴函數的解析式是f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）根據正弦曲線可以看出2x+

π

6

∈ [2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]時，函數單調遞增，
∴2x∈ [2kπ-

π

6

-

π

2

，2kπ-

π

6

+

π

2

]
∴單調增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z．
（3）∵方程f（x）=m有兩個不同的實數根
當0＜x＜π時，
2x+

π

6

∈ [

π

6

，

13π

6

]
方程有兩個不同的根，即直線y=m與三角函數的圖象有兩個不同的交點
根據圖象可以得到-2＜m＜1或1＜m＜2．

點評：本題考查三角函數的解析式的確定和正弦函數的單調性以及直線與三角函數圖象的交點的問題，不同解題的關鍵是做出正確的函數的解析式，本題是一個中檔題目．