Question

某車隊2000年初以98萬元購進一輛大客車，并投入營運，第一年需支出各種費用12萬元，從第二年起每年支出費用均比上一年增加4萬元，該車投入營運后每年的票款收入為50萬元，設營運n年該車的盈利總額為y萬元．
（1）寫出y關于n的函數關系式；
（2）從哪一年開始，該汽車開始獲利；
（3）有兩種方案處理該車：
方案1----當盈利總額達最大值時，年底以20萬元的價格賣掉該車；
方案2----當年均盈利額最大時，年底以40萬元的價格賣掉該車．
試問車隊以哪種方案處理該車獲利較大？

Answer 1

分析：（1）由題意知，每年支出費用構成一個等差數列，首項是12，公差是4，求出前n項和即得總支出費用，最后根據營運n年該車的盈利總額等于收入減去總局支出即得；
（2）在（1）所得函數解析中．令y＞0，解所列不等式即可得結果；
（3）先分別計算出按照方案1來處理的盈利額；按照方案2來處理，年均盈利額，所以按照方案2來處理該車，第7年時賣掉該車共獲利數額，最后綜上可知車隊以哪一個方案來處理該車獲利較大．

解答：解：（1）由題意知，每年支出費用構成一個等差數列，首項是12，公差是4，其前n項和為：12n+

n(n+1)×4

2

∴營運n年該車的盈利總額為：
y=50n-98-[12n+

n(n-1)

2

•4]=-2n2+40n-98(n∈N*)．（4分）
（2）令y＞0，即n2-20n+49＜0⇒10-

51

＜n＜10+

51

⇒3≤n≤17，（6分）
∴從2002年開始，該汽車開始獲利．（8分）
（3）按照方案1來處理，盈利額為y=-2（n-10）²+102，即n=10時，y_max=102，（10分）
即按照方案1來處理，第10年時賣掉該車共獲利102+20=122萬元．（11分）
按照方案2來處理，年均盈利額為

.

y

=

y

n

=

-2n2+40n-98

n

=40-2（n+

49

n

）≤40-28=12，
（當且僅當n=7時取“=”），
即n=7時

.

y

_max=12，（13分）
所以按照方案2來處理該車，第7年時賣掉該車共獲利84+40=124萬元．（14分）
綜上可知車隊以方案2來處理該車獲利較大，為124萬元．（15分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、數列的知識、基本不等式、不等式的解法等．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．