Question

【題目】對于各項均為整數的數列，如果滿足（）為完全平方數，則稱數列具有“性質”；不論數列是否具有“性質”，如果存在與不是同一數列的，且同時滿足下面兩個條件：①是的一個排列；②數列具有“性質”，則稱數列具有“變換性質”.

（Ⅰ）設數列的前項和，證明數列具有“性質”；

（Ⅱ）試判斷數列和數列是否具有“變換性質”，具有此性質的數列請寫出相應的數列，不具此性質的說明理由；

（Ⅲ）對于有限項數列，某人已經驗證當（）時，數列具有“變換性質”，試證明：當時，數列也具有“變換性質”.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，所以是完全平方數，數列具有“性質”；（Ⅱ）由題設條件知：數列具有“變換性質”，數列為，數列不具有“變換性質”，所以數列不具有“變換性質”；（Ⅲ）設，令，則，由此可知當時，數列也具有“變換性質”.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，

又，所以 .

所以（）是完全平方數，數列具有“M性質”.

（Ⅱ）數列具有“變換M性質”，

數列為.

數列不具有“變換M性質”.

∵， 都只有與的和才能構成完全平方數，

∴數列不具有“變換M性質”.

（Ⅲ）設， ，

注意到，

令，

∵，

∴，

又∵， ，

∴，即.

∵當（）時，數列具有“變換M性質”，

∴可以排列成，使得都是平方數；

另外， ， ，…， 可以按相反順序排列，即排列為，…， ， ，

使得 ，

，…，

∴可以排成

滿足都是平方數.