Question

設f（x）=2x+1，f₁（x）=f（f（x）），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），請通過計算，f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，歸納出f_n（x）的表達式f_n（x）=

2ⁿ⁺¹x+2ⁿ⁺¹-1

．

Answer 1

分析：本題考察的知識點是歸納推理，方法是根據已知條件和遞推關系，先求出數列的前幾項，然后總結歸納其中的規律，寫出其通項．

解答：解：∵f（x）=2x+1，f₁（x）=f（f（x）），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），
∴f₁（x）=4x+3=2¹⁺¹x+2¹⁺¹-1
f₂（x）=8x+7=2²⁺¹x+2²⁺¹-1
f₁（x）=16x+15=2³⁺¹x+2³⁺¹-1
…
不妨猜想：f_n（x）=2ⁿ⁺¹x+2ⁿ⁺¹-1
故答案為：2ⁿ⁺¹x+2ⁿ⁺¹-1

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．