Question

已知函數f（x）=m•2^x+t的圖象經過點A（1，1）、B（2，3）及C（n，S_n），S_n為數列{a_n}的前n項和，n∈N^*
（1）求S_n及a_n；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=2log₂a_n+1，記

n

i=1

1

bibi+1

=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

（n∈N^*），求證：

1

3

≤

n

i=1

1

bibi+1

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）將點A（1，1）、B（2，3）f（x）=m•2^x+t，確定出f（x）=2^x-1，得出S_n=2ⁿ-1，根據Sn與an的固有關系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

求a_n
（2）由（1）可知b_n=2log₂a_n+1=2（n-1）+1=2n-1，∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂項后求出

n

i=1

1

bibi+1

═

1

2

(1-

1

2n+1

)，易證不等式成立．

解答：解：（1）∵函數f（x）=m•2^x+t的圖象經過點A（1，1）、B（2，3）
∴

2m+t=1 4m+t=3

解之得

m=1 t=-1

∴f（x）=2^x-1
∵函數f（x）=m•2^x+t的圖象經過C（n，S_n）∴S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）
∴當n=1時，S₁=a₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1∴a_n=2^n-1
（2）由（1）可知b_n=2log₂a_n+1=2（n-1）+1=2n-1，則
∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（8分）
∴

n

i-1

1

bib i+1

=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)（n∈N^*）…（
∵

1

2

(1-

1

2n+1

)在n∈N^*上單調遞增
∴當n=1時

1

2

(1-

1

2n+1

)min=

1

3

∵

1

2n+1

＞0∴

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

綜上可得

1

3

≤

n

i=1

1

bibi+1

＜

1

2

…（12分）

點評：本題是函數與不等式、數列的綜合題，考查待定系數法、數列通項公式、裂項法求和，數列的函數性質，以及不等式的證明．