Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為

1

2

，且經過點M(1，

3

2

)，過點P（2，1）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存直線l，滿足

PA

•

PB

=

PM

2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設橢圓的標準方程，將點M代入得到一個方程，根據離心率得到一個關系式，再由a²=b²+c²可得到a，b，c的值，進而得到橢圓的方程．
（2）假設存在直線滿足條件，設直線方程為y=k（x-2）+1，然后與橢圓方程聯立消去y得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故應△大于0得到k的范圍，進而可得到兩根之和、兩根之積的表達式，再表示出

PA

、

PB

、

PM

，再代入關系式

PA

•

PB

=

PM

2可確定k的值，從而得解．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由題意得

1 a2 + 9 4b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2.

解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）若存在直線l滿足條件，由題意可設直線l的方程為y=k（x-2）+1，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0．
因為直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以△=[-8k（2k-1）]²-4•（3+4k²）•（16k²-16k-8）＞0．
整理得32（6k+3）＞0．
解得k＞-

1

2

．
又x1+x2=

8k(2k-1)

3+4k2

，x1x2=

16k2-16k-8

3+4k2

，
且

PA

•

PB

=

PM

2，即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=

5

4

，
所以(x1-2)(x2-2)(1+k2)=|PM|2=

5

4

．即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=

5

4

．
所以[

16k2-16k-8

3+4k2

-2

8k(2k-1)

3+4k2

+4](1+k2)=

4+4k2

3+4k2

=

5

4

，解得k=±

1

2

．
所以k=

1

2

．于是存在直線l滿足條件，其的方程為y=

1

2

x．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質和直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點題型，要著重復習．