Question

（1）已知數列{a_n}的前幾項和為sn=

3

2

(an-1)(n∈N*)
①求數列的通項公式；
②求數列{a_n}的前n項和．
（2）已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，且|

a

|=|

b

|=4，∠AOB=60°，
①求|

a

+

b

|，|

a

-

b

|； 
②求（

a

+

b

）與

a

的夾角．

Answer 1

分析：（1）①依題意，可證數列{a_n}是以3為首項，3為公比的等比數列，從而可求數列的通項公式；
②由①知a_n=3ⁿ，利用等比數列的求和公式即可求得數列{a_n}的前n項和．
（2）①利用向量的積與模的運算，可先求得|

a

+

b

|2與|

a

-

b

|2，再分別開方即得|

a

+

b

|，|

a

-

b

|；
②設（

a

+

b

）與

a

的夾角為θ，利用向量的數量積的定義與向量的分配律即可求得cosθ的值，從而可得θ，即（

a

+

b

）與

a

的夾角．

解答：解：（1）①∵s_n=

3

2

（a_n-1）（n∈N^*），①′
∴當n=1時，a₁=

3

2

（a₁-1），
∴a₁=3；
又s_n+1=

3

2

（a_n+1-1），②′
∴②′-①′得：a_n+1=

3

2

（a_n+1-a_n），
∴

an+1

an

=3，
∴數列{a_n}是以3為首項，3為公比的等比數列，
∴a_n=3ⁿ；
②設數列{a_n}的前n項和為T_n，
則T_n=a₁+a₂+…+a_n=3+3²+…+3ⁿ=

3(1-3n)

1-3

=

3n+1-3

2

；
（2）①∵

OA

=

a

，

OB

=

b

，且|

a

|=|

b

|=4，∠AOB=60°，
∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos∠AOB=4×4×

1

2

=8，
∴|

a

+

b

|2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=16+2×8+16=48，
|

a

-

b

|2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=16-2×8+16=16，
∴|

a

+

b

|=4

3

，|

a

-

b

|=4； 
②設（

a

+

b

）與

a

的夾角為θ，
則（

a

+

b

）•

a

=|

a

|2+

a

•

b

=16+8=24，
又（

a

+

b

）•

a

=|

a

+

b

|•|

a

|cosθ=4

3

×4cosθ=16

3

cosθ，
∴16

3

cosθ=24，
∴cosθ=

3

2 3

=

3

2

，又θ∈[0，

π

2

]，
∴θ=

π

6

，即（

a

+

b

）與

a

的夾角為

π

6

．

點評：本題考查數列的求和，考查向量的數量積與模的運算，突出考查等比數列關系的確定，考查向量的數量積、向量的夾角、向量模的綜合應用，屬于中檔題．