Question

設f（x）=x²+a．記f¹（x）=f（x），fⁿ（x）=f（f^n-1（x）），n=1，2，3，…，集合M={a∈R|對所有正整數n，≤2}．
證明：M=[-2，]．

Answer 1

【答案】分析：討論a，如果a＜-2，則=|a|＞2，a∉M，如果當0≤a≤時，≤，當-2≤a＜0時，≤|a|，利用數學歸納法可證明，如果a＞時，當n＞時，a_n+1＞n（a-）+a＞2-a+a=2，即fⁿ⁺¹（0）＞2，從而可證得結論．
解答：證明：（1）如果a＜-2，則=|a|＞2，a∉M．  …（5分）
（2）如果-2≤a≤，由題意，f¹（0）=a，fⁿ（0）=（f^n-1（0））²+a，n=2，3，…．則
①當0≤a≤時，≤，（?n≥1）．
事實上，當n=1時，=|a|≤，
設n=k-1時成立（k≥2為某整數），則對n=k，≤²+a≤（）²+=．
②當-2≤a＜0時，≤|a|，（?n≥1）．
事實上，當n=1時，≤|a|，
設n=k-1時成立（k≥2為某整數），則對n=k，有-|a|=a≤（f^k-1（0））²+a≤a²+a
注意到當-2≤a＜0時，總有a²≤-2a，即a²+a≤-a=|a|．從而有≤|a|．
由歸納法，推出[-2，]⊆M．…（15分）
（3）當a＞時，記a_n=fⁿ（0），則對于任意n≥1，a_n＞a＞且a_n+1=fⁿ⁺¹（0）=f（fⁿ（0））=f（a_n）=+a．
對于任意n≥1，a_n+1-a_n=-a_n+a=（a_n-）²+a-≥a-．則a_n+1-a_n≥a-．
所以，a_n+1-a=a_n+1-a₁≥n（a-）．當n＞時，a_n+1＞n（a-）+a＞2-a+a=2，即fⁿ⁺¹（0）＞2．
因此a∉M．
綜合（1），（2），（3），我們有M=[-2，]．
點評：本題主要考查了歸納推理，以及分類討論的數學思想，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．