Question

給定拋物線C：y²=4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點，記O為坐標原點．
（1）求的值；
（2）設，當三角形OAB的面積S∈[2，]時，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線方程可得焦點F的坐標，設出直線的方程與拋物線方程聯立消去x，設A，B的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）根據韋達定理可求得y₁y₂進而求得x₁x₂的值進而可得答案．
（2）由可知所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），與拋物線方程聯立整理得x₁=λ²x₂，進而求得y₂和x₂，代入三角形面積公式，進而根據面積的范圍求得λ的范圍．
解答：解：（1）根據拋物線方程y²=4x可得F（1，0）
設直線l的方程為x=my+1，將其與C的方程聯立，消去x得y²-4my-4=0
設A，B的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
則y₁y₂=-4
因為
故
（2）解：因為，
所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂）
即
又y₁²=4x₁③y₂²=4x₂④
由②、③、④消去y₁，y₂后得，x₁=λ²x₂
將其代入①，注意到λ＞0，解得
從而可得
故三角形OAB的面積
因為恒成立，所以只要解即可，
解得．
點評：本題主要考查拋物線的應用．題中涉及向量的計算，不等式問題和解三角形等問題，綜合性很強．