Question

（2012•湖北模擬）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=

2

AB，E為線段PD上一點，G為線段PC的中點．
（1）當E為PD的中點時，求證：BD⊥CE；
（2）當

PE

ED

=2時，求證：BG∥平面AEC．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直，證明線線垂直，即證明BD⊥平面CEH；
（2）利用面面平行，證明線面平行，即證明平面BGF∥平面AEC，而證明面面平行，又是通過證明線面平行得到．

解答：證明：（1）過E作EH⊥AD，垂足為H，連接CH．
tan∠1=

DC

BC

=

1

2

，tan∠2=

HD

DC

=

2

2

，
∴∠1=∠2
又∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴BD⊥CH，
∵PA⊥矩形ABCD所在平面，∴平面PAD⊥矩形ABCD所在平面
∵EH⊥AD，平面PAD∩矩形ABCD=AD
∴EH⊥矩形ABCD所在平面
∴EH⊥BD
∵EH∩CH=H
∴BD⊥平面CEH
∵CE?平面CEH
∴BD⊥CE．     （6分）
（2）取PE的中點F，連接GF，BF．
∵G為PC的中點，
∴GF∥CE
∵GF?平面ACE，CE?平面ACE
∴GF∥平面ACE．
連接BD交AC與點O，連接OE．
∵E為DF的中點，
∴BF∥OE
∴BF∥平面ACE．∵BF∩GF=F，
∴平面BGF∥平面AEC．
又BG?平面BGF
∴BG∥平面AEC．  （12分）

點評：本題以四棱錐為載體，證明線線垂直和線面平行，考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質等知識點，屬于中檔題．