Question

16．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{2f'（1）}{3}\sqrt{x}-{x^2}$的最大值為f（a），則a等于（　　）

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{{\root{3}{4}}}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{{\root{3}{4}}}{8}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值點(diǎn)即可．

解答 解：∵f′（x）=-$\frac{2f′（1）}{3}$•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-2x，
∴f′（1）=-$\frac{1}{3}$f′（1）-2，
解得：f′（1）=-$\frac{3}{2}$，
故f（x）=$\sqrt{x}$-x²，
f′（x）=$\frac{1-4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{\root{3}{4}}{4}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\root{3}{4}}{4}$，
故f（x）在[0，$\frac{\root{3}{4}}{4}$）遞增，在（$\frac{\root{3}{4}}{4}$，+∞）遞減，
故f（x）的最大值是f（$\frac{\root{3}{4}}{4}$），
a=$\frac{\root{3}{4}}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．