Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）若（e^t+2）x²+e^tx+e^t-2≥0對滿足|x|≤1的任意實數x恒成立，求實數t的取值范圍（這里e是自然對數的底數）；
（Ⅲ）求證：對任意正數a、b、λ、μ，恒有．

Answer 1

解：（Ⅰ）
∴f（x）的增區間為，f（x）減區間為和．
極大值為，極小值為．…4分
（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，|x|≤1時，f（x）的最大值為．
∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而…8分
（Ⅲ）設
則．
∴當x＞0時，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是減函數，
又當a、b、λ、μ是正實數時，
∴．
由g（x）的單調性有：，
即．…12分
分析：（Ⅰ）對函數求導，利用導數可判斷函數的單獨區間，進而可求函數的極大值，極小值．
（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，|x|≤1時，f（x）的最大值為．則可得的最大值為，由恒成立的意義知道，從而可求t．
（Ⅲ）設，對g（x）求導可判斷g（x）在（0，+∞）上是減函數，而作差可證明．由g（x）的單調性可證．
點評：本題主要考查了函數的恒成立問題的轉化的應用，解題的關鍵是熟練應用導數的知識判斷函數的單調性、求解函數的極值及最值及綜合應用函數知識求解問題的綜合能力