Question

已知點M(-2,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|-|PN|=2,記動點P的軌跡為W.

(1)求W的方程;

(2)若A、B是W上的不同兩點,O是坐標原點,求·的最小值.

Answer 1

解析：(1)由|PM|-|PN|=,知動點P的軌跡是以M、N為焦點的雙曲線的右支,實半軸長a=.又半焦距c=2,故b=.

所以W的方程為=1(x≥).

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x_i²-y_i²=(x_i+y_i)(x_i-y_i)=2(i=1,2).

令s_i=x_i+y_i,t_i=x_i-y_i,

則s_it_i=2,且s_i＞0,t_i＞0(i=1,2),

所以·=x₁x₂+y₁y₂

=(s₁+t₁)(s₂+t₂)+  (s₁-t₁)(s₂-t₂)

=s₁s₂+t₁t₂≥=2.

當且僅當s₁s₂=t₁t₂,即時“=”成立,所以·的最小值是2.