Question

12．已知函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx，（a∈R），
（Ⅰ）當a=2時，求 f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a≥2時，存在兩點（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），使得曲線y=f（x）在這兩點處的切線互相平行，求證x₁+x₂＞8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出a（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=1，得到a（$\frac{{x}_{1}{•x}_{2}}{{{x}_{1}+x}_{2}}$≥2，從而證出x₁+x₂＞8．

解答 解：（Ⅰ）由∵$f'（x）=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=0$，x∈（0，+∞）
x=1或x=-2（舍）
∴當0＜x＜1時∴f'（x）＜0，當x＞1時∴f'（x）＞0
∴f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞）．    （6分）
（Ⅱ）證明：依題意：$1-\frac{a}{{{x_1}^2}}+\frac{1}{x_1}=1-\frac{a}{{{x_2}^2}}+\frac{1}{x_2}⇒a（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=1$，
由于x₁＞0，x₂＞0，且x₁≠x₂，則有$a=\frac{{{x_1}•{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}≥2⇒2（{x_1}+{x_2}）≤{x_1}•{x_2}＜{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}$
∴$2（{x_1}+{x_2}）＜{（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）^2}$⇒x₁+x₂＞8．    （12分）

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．