Question

【題目】已知函數,.

(1)當時,求曲線在點處的切線方程;

(2)討論的單調性;

(3)若有兩個零點,求的取值范圍(只需直接寫出結果).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）求出函數的導數，計算，的值，求出切線方程即可；

（2）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可；

（3）根據函數的單調性求出的最大值，得到，所得到，證明當時，有兩個零點即可．

解：（1）時，，

， ，，

故切線方程是：，

故切線方程是：

（2）

①當時，顯然，在上單調遞增；

②當時，令，則，易知其判別式為正，

設方程的兩個根分別為，，則，

，

令得，其中，

所以函數在上遞增，在上遞減．

（3）由（2）知

①當時，顯然在上單調遞增，至多一個零點，不符合題意；

②當時，函數在上遞增，在，上遞減，

要使有兩個零點，必須，即，

又由得：，代入上面的不等式得：，解得，

，所以

下面證明：當時，有兩個零點．

，

，

又，

且，

，

所以在與上各有一個零點．