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【題目】已知橢圓過點,且它的焦距是短軸長的.

1)求橢圓的方程.

2)若是橢圓上的兩個動點(兩點不關于軸對稱),為坐標原點,的斜率分別為,問是否存在非零常數,使當時,的面積為定值?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)存在這樣的常數,此時.

【解析】

1)將點的坐標代入橢圓方程,結合列方程組,解方程組求得橢圓的標準方程.2)設直線的方程為兩點的坐標,將兩點兩點坐標代入,化簡得到①.聯立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,利用點到直線距離公式和弦長公式求得三角形的面積的表達式,結合①解得的值.

解:(1)因為橢圓過點

所以

又因為該橢圓的焦距是短軸長的倍,所以,從而.

聯立方程組,解得,所以.

2)設存在這樣的常數,使的面積為定值.設直線的方程為,點,點,則由,所以.

聯立方程組,消去.

所以

到直線的距離

的面積.

將②③代入①得

化簡得,⑤

將⑤代入④得

要使上式為定值,只需

即需,從而,此時

所以存在這樣的常數,此時.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】2018年的政府工作報告強調,要樹立綠水青山就是金山銀山理念,以前所未有的決心和力度加強生態環境保護.某地科技園積極檢查督導園區內企業的環保落實情況,并計劃采取激勵措施引導企業主動落實環保措施,下圖給出的是甲、乙兩企業2012年至2017年在環保方面投入金額(單位:萬元)的柱狀圖.

(Ⅰ)分別求出甲、乙兩企業這六年在環保方面投入金額的平均數;(結果保留整數)

(Ⅱ)園區管委會為盡快落實環保措施,計劃對企業進行一定的獎勵,提出了如下方案:若企業一年的環保投入金額不超過200萬元,則該年不獎勵;若企業一年的環保投入金額超過200萬元,不超過300萬元,則該年獎勵20萬元;若企業一年的環保投入金額超過300萬元,則該年獎勵50萬元.

(ⅰ)分別求出甲、乙兩企業這六年獲得的獎勵之和;

(ⅱ)現從甲企業這六年中任取兩年對其環保情況作進一步調查,求這兩年獲得的獎勵之和不低于70萬元的概率.

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【題目】已知橢圓為左焦點,為上頂點,為右頂點,若,拋物線的頂點在坐標原點,焦點為.

(1)求的標準方程;

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【題目】已知直線L: y=x+m與拋物線y2=8x交于A、B兩點(異于原點)

(1)若直線L過拋物線焦點,求線段 |AB|的長度;

(2)若OA⊥OB ,求m的值;

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【題目】已知函數.

1)求使方程存在兩個實數解時,的取值范圍;

2)設,函數.若對任意,總存在,使得,求實數的取值范圍.

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【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個結論

ACBD

ACD是等邊三角形;

AB與平面BCD成60°的角;

AB與CD所成的角是60°.

其中正確結論的序號是________

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【題目】根據某水文觀測點的歷史統計數據,得到某河流水位(單位:米)的頻率分布直方圖如下.將河流水位在各段內的頻率作為相應段的概率,并假設每年河流水位變化互不影響.

1)求未來4年中,至少有2年該河流水位的概率(結果用分數表示).

2)已知該河流對沿河工廠的影響如下:當時,不會造成影響;當時,損失50000元;當時,損失300000.為減少損失,工廠制定了三種應對方案.

方案一:不采取措施;

方案二:防御不超過30米的水位,需要工程費用8000元;

方案三:防御34米的最高水位,需要工程費用20000.

試問哪種方案更好,請說明理由.

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【題目】在正方體中,點E是棱的中點,點F是線段上的一個動點.有以下三個命題:

①異面直線所成的角是定值;

②三棱錐的體積是定值;

③直線與平面所成的角是定值.

其中真命題的個數是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

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【題目】已知橢圓C的離心率為,且過點

求橢圓的標準方程;

設直線l經過點且與橢圓C交于不同的兩點MN試問:在x軸上是否存在點Q,使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值?若存在,求出點Q的坐標及定值,若不存在,請說明理由.

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