Question

如圖13，已知在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)M，且M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上，PE是⊙O的切線，E是切點(diǎn)，AE與CD相交于點(diǎn)F.求證：PF²＝PC·PD.

圖13

Answer 1

思路分析:因?yàn)镻F、PC、PD三條線段在同一條直線上，不能構(gòu)成相似三角形，所以考慮運(yùn)用相等線段PE代換，而由切割線定理，PE²=PC·PD，于是命題得證.

證明:連結(jié)BE.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°.

∴∠A＋∠B=90°.

∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴AB⊥CD.

∴∠A＋∠AFM=90°.

∴∠AFM=∠B.

∵∠PFE=∠AFM，∴∠PFE=∠B.

∵PE切⊙O于E，∴∠PEF=∠B.

∴∠PFE=∠PEF.∴PF=PE.

∵PE²=PC·PD，

∴PF²=PC·PD.