Question

已知函數．

（1）當時，求在區間上的最大值和最小值；

（2）如果函數，，，在公共定義域D上，滿足，那么就稱為為的“活動函數”．已知函數，．若在區間上，函數是，的“活動函數”，求的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當時，，；            

對于[1, e]，有，∴在區間[1, e]上為增函數

∴，．………………………………………… 3 分

（2）在區間（1，+∞）上，函數是的“活動函數”，則

令，對恒成立，

且 =對恒成立，………………  5分

∵ （*）

1）  若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞）上有，此時在區間（，+∞）上是增函數，并且在該區間上有∈（，+∞），不合題意；

當，即時，同理可知，在區間（1，+∞）上，有∈（，+∞），也不

合題意；  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7分

2） 若，則有，此時在區間（1，+∞）上恒有，從而在區間（1，+∞）

上是減函數；要使在此區間上恒成立，只須滿足，

所以a．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9分

又因為h^/（x）= –x+2a–= <0, h（x）在（1, +∞）上為減函數，

h（x）<h（1）= +2a0，  所以a綜合可知的范圍是[,]．  12分

另解：（接在（*）號后）先考慮h（x）,    h`（x） = – x + 2a =,

h（x）在（1,+¥）遞減，只要h（1） £ 0, 得，解得． 。。。。。。。。。。。8分

而p`（x）=對xÎ（1,+¥） 且有p`（x） <0．

只要p（1） £ 0, ，解得,所以．  。。。。。。。。。。。。12分