Question

已知函數f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），如果存在實數x₁，使得對任意的實數x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2012）成立，則ω的最小值為（　�。�

• A．

  1

  2012

• B．

  1

  4024

• C．

  π

  2012

• D．

  π

  4024

Answer 1

分析：利用輔助角公式對函數化解可得f（x）=sinωx+cosωx=

2

2

sin（ωx+

π

4

），由對任意的實數x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2012）成立可得f（x₁），f（x₁+2012），分別為函數的最小值和最大值，要使得ω=

2π

T

最小，只要周期最大，當

T

2

=2012，周期最大，代入可求得結果．

解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx=

2

2

sin（ωx+

π

4

），由對任意的實數x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2012）成立，
可得f（x₁），f（x₁+2012）分別為函數的最小值和最大值．
要使得ω=

2π

T

最小，只要周期最大，當

T

2

=2012，即T=4024時，周期最大，此時ω=

2π

T

=

2π

4024

=

π

2012

，
故選C．

點評：本題目主要考查了三角函數的輔助角公式的應用，三角函數的性質的應用，周期公式的應用，解題的關鍵是要由f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2012）成立得到f（x₁），f（x₁+2012），分別為函數的最小值和最大值，屬于中檔題．