Question

如圖，已知橢圓C的方程為，點P（a，b）的坐標滿足，過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：
（1）點Q的軌跡方程；
（2）點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把A、B兩點和點Q的坐標設出來，再分A、B兩點的橫坐標相等和不相等兩種情況分別設出直線l的方程，再利用A、B兩點既在直線上又在橢圓C上，可以找到A、B兩點坐標之間的關系，最后利用中點坐標公式，就可求點Q的軌跡方程（注意要反過來檢驗所求軌跡方程是否滿足已知條件）；
（2）先找到曲線L與y軸的交點（0，0），（0，b）以及與x軸的交點坐標（0，0），（a，0），再對a和b的取值分別討論，分析出與坐標軸的交點的個數（注意點P（a，b）的坐標滿足）..
解答：解：（1）設點A、B的坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），點Q的坐標為Q（x，y）．當x₁≠x₂時，設直線l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-a）+b
由已知①
y₁=k（x₁-a）+b，y₂=k（x₂-a）+b②
由①得③
由②得y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2ak+2b④
由③④及，，，
得點Q的坐標滿足方程2x²+y²-2ax-by=0⑤
當x₁=x₂時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標為（a，0）．
顯然點Q的坐標滿足方程⑤
綜上所述，點Q的坐標滿足方程2x²+y²-2ax-by=0．
設方程⑤所表示的曲線為L，
則由
得（2a²+b²）x²-4ax+2-b²=0．
因為，由已知，
所以當時，△=0，曲線L與橢圓C有且只有一個交點P（a，b）．
當時，△＜0，曲線L與橢圓C沒有交點．
因為（0，0）在橢圓C內，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓C內．
故點Q的軌跡方程為2x²+y²-2ax-by=0
（2）由解得曲線L與y軸交于點（0，0），（0，b）．
由解得曲線L與x軸交于點（0，0），（a，0）
當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標軸只有一個交點（0，0）．
當a=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）．
同理，當b=0且0＜|a|≤1，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）．
當0＜|a|＜1且，即點P（a，b）在橢圓C內且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）．
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及軌跡方程問題．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．