Question

已知函數f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的圖象與直線x=1交于點P，若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值為（　　）

A．1-log₂₀₁₃2012

B．-1

C．-log₂₀₁₃2012

D．1

Answer 1

分析：先求點P（1，1），再求曲線在點P（1，1）處的切線方程，從而得出切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，再求相應的函數值．

解答：解：∵函數f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的圖象與直線x=1交于點P，
∴P（1，1），
∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，當x=1時，y′=n+1，即切線的斜率為：n+1，
故y=xⁿ⁺¹在（1，1）處的切線方程為y-1=（n+1）（x-1），
令y=0可得x=

n

n+1

，
即該切線與x軸的交點的橫坐標為x_n=

n

n+1

，
所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2012

2013

=log2013

1

2013

=-1，
故選B．

點評：本題考查導數的幾何意義的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意利用對數運算的性質求出函數，屬中檔題．