Question

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業用地中規劃出一個高科技工業園區（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km其中曲線段AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線的一部分．分別以直線AB，AD為x軸和y軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線段AF所在拋物線的方程；
（2）設點P的橫坐標為x，高科技工業園區的面積為S．試求S關于x的函數表達式，并求出工業園區面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）設拋物線方程：y=ax²（a＞0），由F（2，4）代入得a=1，由此能求出拋物線方程．
（2）設P（x，x²），Q（0，x²）直線CE方程：y=x+4，所以R（x，x+4）PQ=x，QE=4-x²，PR=x+4-x²，面積S=

1

2

x(-2x2+x+8)=-x3+

1

2

x2+4x，定義域：x∈（0，2），利用導數能求出S的最大值．

解答：解：（1）設拋物線方程：y=ax²（a＞0），由F（2，4）代入得a=1，
所以拋物線方程為y=x²
（2）設P（x，x²），Q（0，x²）
直線CE方程：y=x+4，
所以R（x，x+4）PQ=x，QE=4-x²，PR=x+4-x²
面積S=

1

2

x(-2x2+x+8)=-x3+

1

2

x2+4x，
定義域：x∈（0，2），
求導S′=-3x²+x+4=-（3x-4）（x+1），
又x∈（0，2），由S′=0得：x=

4

3

S′先正后負，S先增后減，
所以，x=

4

3

時，S取最大值

104

27

．

點評：本題考查曲線方程的求法和工業園區面積的最大值．解題時要認真審題，仔細分析題設中的數量關系，合理地建立方程，利用導數求面積的最大值．