Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）設M，N分別在線段AB，EC上，且滿足AM=2MB，EN=2NC，求證：MN∥平面DAE；
（2）求證：AE⊥BE；
（3）求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）在EB上取點S，使ES=2SB，利用平行線截線段成比例得到線線平行，從而得到線面平行，再得到面面平行，最終得到線面平行；
（2）證明AE⊥EB，可先證明AE⊥平面EBC，要證AE⊥平面EBC，只要證AE⊥BC，AE⊥BF即可，由已知容易得到AE⊥BC，AE⊥BF，則問題得證；
（3）因為AE=EB，取AB中點G后得到EG⊥AB，過G作GH⊥AC于H，連結EH后即可得到∠EHG為要求二面角的平面角，通過解三角形求出EG和GH的長度，則二面角的正切值可求，利用反三角函數求出二面角的大小．

解答：（1）證明：如圖，在EB上取點S，使ES=2SB，連接MS，NS
∵AM=2MB，EN=2NC，ES=2SB
∴NS∥BC，又BC∥AD，∴NS∥AD，AD?平面ADE，NS?平面ADE，∴NS∥平面ADE．
MS∥AE，AE?平面ADE，MS?平面ADE，∴MS∥平面ADE，又MS∩NS=S，
∴平面MNS∥平面ADE，
∴MN∥平面DAE；
（2）證明：∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，又∵AD∥BC，∴BC⊥AE，
由已知BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，而BC∩BE=B，∴AE⊥面BCE．
則AE⊥BE．
∵四邊形ABCD為矩形，∴AD⊥AB，
（3）解：取AB中點G，連結EG，在平面ABCD中作GH⊥AC于H，連接EH
∵AE=EB，∴EG⊥AB，由AD⊥平面ABE，知面ABCD⊥面ABE，∴EG⊥面ABCD，
∴EG⊥AC，又GH⊥AC，EG∩GH=G，∴AC⊥EGH，則∠EHG為所求二面角的平面角．
在Rt△AEB中，AE=EB=2，易得到：AB=2

2

，EG=

1

2

AB=

2

．
在Rt△ABC中，AC=2

3

，由△AHG∽△ABC，可得

GH

BC

=

AG

AC

，∴HG=

AG•BC

AC

=

2 ×2

2 3

=

6

3

．
∴在Rt△EGH中，tan∠EHG=

EG

GH

=

2

6 3

=

3

，∴∠EHG=60°．

點評：本題考查了直線與平面的平行直線與平面的垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，“尋找垂面，構造垂線”是找二面角的平面角最有效的方法，此題是中檔題．