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設橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1相交于A、B兩點,且|AB|=2.又AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為,求橢圓的方程.

解:將橢圓方程與直線方程聯立,消去y并整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0.

設A(x1,y1)、B(x2,y2),

則x1+x2=,x1x2=.

∴|AB|=|x1-x2|

=·

=2·

=,

y1+y2=1-x1+1-x2=2-(x1+x2)=,kOM=.

由題意知

解之,得

故所求橢圓方程為+y2=1.

練習冊系列答案
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設橢圓ax2+by2=1與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，點C是AB的中點，若|AB|=2
2
，OC的斜率為
2
2
，求橢圓的方程．

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