Question

【題目】圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖），雙曲線C1： 過點P且離心率為 ．

（1）求C1的方程；
（2）若橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點，直線l過C2的右焦點且與C2交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓過點P，求l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設切點P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），則切線的斜率為 ，

可得切線的方程為 ，化為x0x+y0y=4．

令x=0，可得 ；令y=0，可得 ．

∴切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形的面積S= = ．

∵4= ，當且僅當 時取等號．

∴ ．此時P ．

由題意可得 ， ，解得a2=1，b2=2．

故雙曲線C1的方程為 ．

（2）解：由（1）可知雙曲線C1的焦點（± ，0），即為橢圓C2的焦點．

可設橢圓C2的方程為 （b1＞0）．

把P 代入可得 ，解得 =3，

因此橢圓C2的方程為 ．

由題意可設直線l的方程為x=my+ ，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 ，化為 ，

∴ ， ．

∴x1+x2= = ，

x1x2= = ．

， ，

∵ ，∴ ，

∴ + ，

∴ ，解得m= -1或m= ，

因此直線l的方程為： 或

【解析】（1）設切點P（x0 ， y0），（x0＞0，y0＞0），利用相互垂直的直線斜率之間的關系可得切線的斜率和切線的方程，即可得出三角形的面積，利用基本不等式的性質可得點P的坐標，再利用雙曲線的標準方程及其性質即可得出；（2）由（1）可得橢圓C2的焦點．可設橢圓C2的方程為 （b1＞0）．把P的坐標代入即可得出方程．由題意可設直線l的方程為x=my+ ，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），與橢圓的方程聯立即可得出根與系數的關系，再利用向量垂直與數量積的關系即可得出．