Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面.

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，據(jù)此可得.利用線面垂直的判斷定理可得平面.

(2)(方法一)延長(zhǎng)，相交于，連接，由題意可知二面角就是平面與平面所成二面角.取的中點(diǎn)為，則就是二面角的平面角.結(jié)合幾何關(guān)系計(jì)算可得.

(方法二)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面的法向量.取平面的法向量為.利用空間向量計(jì)算可得.

詳解：(1)在中，.

所以，所以為直角三角形，.

又因?yàn)?/span>平面，所以.

而，所以平面.

(2)(方法一)如圖延長(zhǎng)，相交于，連接，

則平面平面.

二面角就是平面與平面所成二面角.

因?yàn)?/span>，所以是的中位線.

，這樣是等邊三角形.

取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>平面.

所以就是二面角的平面角.

在，所以.

(方法二)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得.

.

設(shè)是平面的法向量，則

令得.

取平面的法向量為.

設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，

則，從而.