Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁、F₂，過F₁作傾斜角為45°的直線與橢圓的一個交點為M，若MF₂垂直于x軸，則橢圓的離心率為

2

-1

．

Answer 1

分析：根據題意，得到△MF₁F₂是以MF₁為斜邊的等腰直角三角形，可設出它的三邊的長，再根據橢圓的定義和離心率的公式，即可得到離心率e=

2c

2a

=

2

-1．

解答：解：∵MF₂垂直于x軸，∠MF₁F₂=45°，
∴△MF₁F₂是等腰直角三角形，以MF₁為斜邊．
設MF₁=

2

m，（m＞0），則MF₂=F₁F₂=m，
∵F₁、F₂是橢圓的左右焦點，
∴MF₁+MF₂=2a，即2a=（1+

2

）m
而2c=F₁F₂=m，所以根據橢圓離心率的定義，得
e=

c

a

=

2c

2a

=

m

(1+ 2 )m

=

2

-1
故答案為：

2

-1

點評：本題給出橢圓的一個焦點三角形是等腰直角三角形，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義、橢圓的幾何性質、幾何量的計算以及數形結合，屬于中檔題．