Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為側面ABB₁A₁所在平面上的一個動點，且M到平面ADD₁A₁的距離是M到直線BC距離的2倍，則動點M的軌跡為（　　）

A．橢圓

B．雙曲線

C．拋物線

D．圓

Answer 1

分析：作MN⊥AA₁于N，連接MB，根據面面垂直、線面垂直的性質，證出MN、MB分別是M到平面ADD₁A₁、直線BC的距離，可得MN=2MB．然后在平面AA₁B₁B內利用圓錐曲線的統一定義，即可得到動點M的軌跡是以B為一個焦點、AA₁為一條準線的橢圓．

解答：解：平面ABB₁A₁內作MN⊥AA₁于N，連接MB
∵平面ABB₁A₁⊥平面AA₁D₁D，平面ABB₁A₁∩平面AA₁D₁D=AA₁，
∴MN⊥平面AA₁D₁D，可得MN就是M到平面ADD₁A₁的距離，
∵BC⊥平面ABB₁A₁，MB?平面ABB₁A₁，
∴MB⊥BC，即MB就是M到BC的距離，
∵M到平面ADD₁A₁的距離是M到直線BC距離的2倍，即MN=2MB
∴根據圓錐曲線的統一定義，可得動點M的軌跡是以B為一個焦點、AA₁為一條
準線的曲線，其離心率e=

MB

MN

=

1

2

．
因此，動點M的軌跡是以B為一個焦點、AA₁為一條準線的橢圓．
故選：A

點評：本題給出正方體中，側面ABB₁A₁內動點M到平面ADD₁A₁的距離是M到直線BC距離的2倍，求M的軌跡對應曲線的類型，著重考查了空間線面垂直、面面垂直的性質和圓錐曲線統一定義等知識，屬于中檔題．