Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁==3，AB=2，BC=1．
（1）證明：BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）D為CC₁中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB₁C₁，證明你的結論．
（3）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明BC⊥AC，由AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC，利用線面垂直的判定，可得結論；
（2）分別取BB₁中點M和AB中點E，可得平面EMD∥平面AB₁C₁，從而DE∥平面AB₁C₁；
（3）建立空間直角坐標系，求出平面ABB₁的一個法向量=（），是平面AB₁C₁的一個法向量，且與二面角B-AB₁-C₁的大小相等，從而可求二面角B-AB₁-C₁的余弦值的大小．
解答：（1）證明：在矩形ACC₁A₁中，AA₁==3，AB=2，BC=1
∴AB²=AC²+BC²
∴BC⊥AC
∵AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥BC
∵AA₁∩AC=A
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：分別取BB₁中點M和AB中點E，由DM∥B₁C₁，EM∥AB₁，得平面EMD∥平面AB₁C₁，∴DE∥平面AB₁C₁，
即E為AB中點時，DE∥平面AB₁C₁；
（3）解：以C為坐標原點，CB，CC₁，CA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），B（1，0，0），A（0，0，），C₁（0，，0），B₁（1，，0），A₁（0，，），D（0，，0）
設是平面ABB₁的一個法向量
由可得，∴可取=（）
∵是平面AB₁C₁的一個法向量，且與二面角B-AB₁-C₁的大小相等
∴cos==-
∴所求二面角B-AB₁-C₁的余弦值的大小為-．
點評：本題主要考查二面角的計算，直線和平面垂直、平行的性質、判定，考查學生空間想象能力，計算能力、轉化能力