Question

已知橢圓的離心率為,短軸端點分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若,是橢圓上關于軸對稱的兩個不同點，直線與軸交于點，判斷以線段為直徑的圓是否過點，并說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標準方程為；（2）點不在以線段為直徑的圓上．

解析試題分析：（1）求橢圓的標準方程，已知橢圓的離心率為,短軸端點分別為，可設橢圓方程為，由，可得，從而得橢圓的標準方程；（2）由于,是橢圓上關于軸對稱的兩個不同點，可設則，若點在以線段為直徑的圓上，則，即，即，因此可寫出直線的方程為，令，得，寫出向量的坐標，看是否等于０，即可判斷出．
（1）由已知可設橢圓的方程為：             1分
由，可得，                              3分
解得,                           4分
所以橢圓的標準方程為.                           5分
（2）法一：設則                              6分
因為，
所以直線的方程為，                   7分
令，得，所以.                         8分
所以                          9分
所以，                     10分
又因為，代入得                11分
因為，所以.                12分
所以，                              13分
所以點不在以線段